簡単な分数の計算なら、小学生でもでき、算数がものすごく苦手という人でなければ、１／２＋１／３ぐらいの計算は朝飯前でできるはずです。
穴埋めになると難しくなる
ところが、次のような問題が出されたとき、ものすごく難しく感じてしまったりします。
【問題】
１７／１８ ＝ １／ア ＋ １／イ ＋ １／ウ
ア＜イ＜ウであるとするとき、ア、イ、ウを求めよ。
問題の形としては３つの分数の和が１７／１８となっているというもので、
分数といっても、１７／１８と分子も分母も特別大きいという数字ではなく、簡単そうにみえます。
この式をどうとらえるのか
【解法】
通常、分数の足し算をするときは、通分します。
例えば、１／２ ＋ １／３を計算するならば、分母を２と３の最小公倍数の６にしてそろえ、３／６ ＋ ２／６ ＝ ５／６
ならば、１８はアとイとウを通分した結果、つまりアとイとウの最小公倍数が１８だと考えます。
そこで１８を素因数分解すると、２×３×３となります。
なんだ、それなら１／２ ＋ １／３ ＋ １／３ とすると、ちょっと待て、これなら通分は６で良いわけだし、１８にならないとなってしまいます。
しかし、分子の１７は素数であるので、通分した結果、または通分してから約分した結果、分母が１８になっていることは間違いありません。
なので、足される３つの分数の分母は、それぞれ２の倍数、３の倍数、３の倍数となります。
そこで、便宜上、２ａ、３ｂ、３ｃとします。
すると、「１／２ａ ＋ １／３ｂ ＋ １／３ｃ ＝ １７／１８」ということになります。
ここまで考えられれば、もうこの問題は７～８割解けたようなものです。
最後の一工夫
まずは、「１／２ａ ＋ １／３ｂ ＋ １／３ｃ ＝ １７／１８」を計算してみるとこうなります。
とにかく通分しないと足せないので、分母はとりあえず、２ａ×３ｂ×３ｃ＝１８ａｂｃ
分子は、３ｂ×３ｃ＋２ａ×３ｃ＋２ａ×３ｂ＝９ｂｃ＋６ａｃ＋６ａｂになります。
つまり、（９ｂｃ＋６ａｃ＋６ａｂ）／１８ａｂｃ ＝ １７／１８です。
ここで一工夫が必要です。
１７／１８は、これ以上約分できません。
しかし、（９ｂｃ＋６ａｃ＋６ａｂ）／１８ａｂｃは、分子・分母とも３で割ることができるので約分できます。
約分しすっきりさせると、「（３ｂｃ＋２ａｃ＋２ａｂ）／６ａｂｃ ＝ １７／１８」となります。
６ａｂｃ ＝ １８
ａ、ｂ、ｃはともに正の整数なので、もう組み合わせは限られます。
（ａ、ｂ、ｃ）＝（１、１、３）、（１、３、１）、（３、１、１）
ここで、重要になってくるのが「ア＜イ＜ウ」という条件です。
「ア＜イ＜ウ」ということは、「ア≠イ≠ウ」でもあります。
「１／２ａ ＋ １／３ｂ ＋ １／３ｃ ＝ １７／１８」としてので、２ａ≠３ｂ≠３ｃです。
ということは、ｂとｃは違う数が入らないとまずいので、
（ａ、ｂ、ｃ）＝（１、１、３）、（１、３、１）ということになります。
となると、（２ａ、３ｂ、３ｃ）＝（２、３、９）又は（２、９、３）になり、アとイとウの３つの数字は、それぞれ２と３と９のいずれかになります。
「ア＜イ＜ウ」というであるので、ア＝２、イ＝３、ウ＝９が答えになります。
