今回はその中でも『てんびん問題』といわれる問題のパターンについて解説していきます。
てんびん問題とは
まず『てんびん問題』とはどのような問題なのかというと、いろいろ種類はあるのですが、上皿てんびんを使って、重さがことなるものを見つける問題が主流と考えて良いでしょう。
よくあるのが、何枚かコインがあって、この中に正規のものとは重さが異なる偽物が１枚入っていて、それを上皿てんびんをつかって見つけ出すといういわゆる『ニセガネ問題』です。
基本的問題は「公式」で解けてしまう『てんびん問題』
１つだけ異なる偽物が、他の正規のものと比べて、重いか軽いかがわかっている場合の基本問題は、この公式を覚えておけば解けるというものがあるのでご紹介します。
全部でコインが３枚までの場合は、確実に１回で見つけ出せます。
Ａ・Ｂ・Ｃのうち１枚が偽物とで軽いならば、ＡとＢを天秤に乗せて傾けば軽いほうが偽物で、釣り合えばＣが偽物になります。
コインがＡ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅ・Ｆ・Ｇ・Ｈ・Ｉの９枚までなら、コインを（Ａ・Ｂ・Ｃ）、（Ｄ・Ｅ・Ｆ）、（Ｇ・Ｈ・Ｉ）の３つのグループに分け、３枚までの場合と同じ考え方で、（Ａ・Ｂ・Ｃ）と（Ｄ・Ｅ・Ｆ）を天秤に乗せ、傾けば軽い方の３つの中に偽物が入っていて、釣り合えば（Ｇ・Ｈ・Ｉ）のうちのどれかが偽物ということになります。
これで例えば、（Ａ・Ｂ・Ｃ）の中のどれかが偽物だとわかれば、あとは３枚までの場合と同じです。
つまり、９個までなら３個以下のグループ３つまでに分けて、１回目の操作で３個以下に絞り込み、さらにもう１回の操作で１個が特定できるのです。
つまり３のｎ乗枚のコインまでなら、ｎ回の操作で特定できることになります。
３枚までなら１回、４～９枚までなら２回、１０～２７枚までなら３回、２８～８１枚までなら４回というようになります。
こうなればいくら枚数が増えても怖くありません。
実践問題をやってみる
それでは実践問題をやってみましょう。
見た目はまったく同じのコインが２００枚あり、この中に１枚だけ他のものとは違い重さが軽い偽物が１枚混じっています。
正確に測れる上皿天秤を１台使って、偽物を見つけ出すには、最少で何回この天秤を使えばよいのか。
もちろん、１回目で偶然みつかっちゃったから１回なんていう答えはダメです。
この問題の場合、偽物は他のものより「軽い」とわかっているので、公式がそのまま使えます。
２００は３のｎ－１乗より大きく、ｎ乗以下であるというこのｎを見つけてやればいいだけの話です。
３の５乗は２４３で２００より大きく、３の４乗は８１で２００より小さいので、５回の操作で見つけ出せるということになります。
２００枚のコインを、６６枚・６７枚・６７枚の３グループに分け・・・というように操作してこれを繰り返していけばいいのです。
ただし、この公式、つまり３のｎ乗の公式は、偽物が１つで、軽いか重いかがわかっている場合にのみ使えますので、軽いか重いかがわからなかったり、偽物が複数あるといった問題では使えませんので注意が必要です。
