期待値とベイズの定理 | 賢脳トピックス

確率や統計の問題で、期待値を求めたり、ベイズの定理を使って解く問題もあります。

期待値の問題やベイズの定理に関連した問題は、その考え方や事例を理解していれば、それほど難しい問題でもないので、どういった場合が該当するのかを理解しておくと良いでしょう。

期待値

『期待値』とは、わかりやすい事例を示すと、コインを1回投げて、そのとき表が出たら1000円、裏が出たら100円の賞金がもらえるとします。
するとこの時、表が出るか栗生も裏が出る確率も1/2になります。

つまり、1000円をGETできる確率も、100円をGETする確率も、1/2ということになります。

そこで、平均的な賞金の見込み額はと計算すると、1000×1/2 + 100×1/2 = 500+50=550円になります。
これが『期待値』になります。

つまり、『期待値』=「得られる数値×それが起こる確率」の和
ということになります。

条件付き確率とベイズの定理

事象AとBが独立であるとき,?Aが起きて,さらにBが起きる確率は,(Aが起きる確率)×(Bが起きる確率)で求められます。
式で表すと、P(A∩B)=P(A)×P(B)になり、これが通常の確率です。

『条件付き確率』では、事象AとBが独立ではないときにはというと、事象Bが起きたという条件のもとで事象Aが起こる確率となり、
P(A∩B)=P(A|B)×P(B)になります。

ベイズの定理

『ベイズの定理』は、平たく言うと「事前確率(もともと持っている信念や考え)が尤度(新しいデータや経験)を受けて、どう変化するのかを示す事後確率を求めるための方法」になります。

たとえば、98%の確率で当たるくじAと、2%の買う率で当たるくじBがあったとして、無作為に片方のくじを選んで1回引くとします。

ここで当たる確率はというと、くじAを選んで当たる確率は、くじAを引く確率の1/2に98%をかけた値、つまり0.49となります。

くじBを選んで当たる確率は、くじBを引く確率の1/2に2%をかけた値、すなわち0.01になります。

これの合計になるので、0.49+0.01=0.5ということになります。

それではここで、質問です。

1本くじを引いて当たりました。くじAを選んでいた確率は?と視点を変えて聞かれたらどうなるでしょうか。

多分、当たったと聞いた瞬間に、たぶんくじAを選んだんだなと思うと思います。

もちろん、くじAを選んで当たった確率のほうが高いのですが、当たったという時点で、0.49+0.01=0.5の確率で起こっているので、起こりやすさの比を調べてみると、0.49:0.01=49:1になっています。

つまり、当たったのであれば、そのうちくじBを選んで当たっていた確率は1/50あるということになります。

ここでもとめた確率がベイズの定理と言われるものになります。

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