これから整数に関連した代表的な問題とその考え方についてご紹介していきます。
最大公約数と最小公倍数
最大公約数と最小公倍数を使った問題をご紹介します。
【問題１】
異なる２つの自然数があります。この２つの自然数の最小公倍数と最大公約数の差は８８で、
和は１０４です。この２つの自然数の積はいくつになるでしょうか。
【解答１】
最大公約数と最小公倍数の差と和がわかっていて、当然、最大公約数＜最小公倍数なので、連立方程式により最大公約数と最小公倍数を計算することができます。
計算してみると、最大公約数は８、最小公倍数は９６となります。
２つの自然数をｘ、ｙとすると、その最大公約数は８になるので、ｘとｙはともに８の倍数となるので次のように表せます。
ｘ＝８ｍ
ｙ＝８ｎ
しかもｍとｎは整数で、しかも共通の約数を持ちませんので、
８ｍｎ＝９６
となります。
ｘとｙの積を求める問題なので、ｘｙ＝８ｍ×８ｎ＝８×８ｍｎとなり、これに８ｍｎ＝９６を代入してみると、ｘｙ＝８×９６＝７６８になります。
よって、２つの自然数の積は７６８になります。
最大公約数と最小公倍数の応用
今度はもうちょっと応用となる問題です。
【問題２】
３つの自然数、１４、６３、ｎがあり、その最大公約数が７、最小公倍数が８８２となります。
ｎは３００より小さいとした場合、自然数ｎに該当する数は、全部でいくつあるでしょうか。
【解答２】
まずは、すでに分かっている数字を分解してみます。
１４＝７×２
６３＝７×３×３
最小公倍数は８８２ということですので、８８２＝７×２×３×３×ｍと考えると、ｍ＝７と出てきます。
最大公約数が７で、最小公倍数が８８２＝７×２×３×３×７（ｍ）ということなので、ｎはいく通りか考えられ、それはｍ＝７に最大公約数７を掛けた４９と、２と３と３の組み合わせをかけた数になります。
つまり、ｎになる可能性がある自然数は、
７×７に加えて、（７×７）×（２、３、２×３、３×３、２×３×３）の組み合わせの６通りとなります。
具体的には、４９、４９×２＝９８、４９×３＝１４７、４９×２×３＝２９４、４９×３×３＝４４１、４９×２×３×３＝８８２の６通りです。
このうち３００より小さい場合なので、４９，９８、１４７、２９４の４つが該当することになります。
公約数のひねり問題です
次は、公約数を使ったひねり問題です。
【問題３】
１５８、２０４、２７３をそれぞれ同じ２桁の自然数ｘで割ると、割り切れずに、その余りはいつも等しくなります。
この時のｘを求めなさい。
【解答３】
それぞれ３つの数を割った余りが同じになるというのであるから、それをｙとします。
そして文章どおり素直に式を立ててみるとこうなります。
ｐｘ＋ｙ＝１５８
ｑｘ＋ｙ＝２０４
ｒｘ＋ｙ＝２７３
ｐ、ｑ、ｒは定数。
これをまとめると、
（ｑーｐ）ｘ＝４６
（ｒーｑ）ｘ＝６９
となります。
すると、ｘは、４６と６９の公約数であることがわかります。
４６＝２×２３
６９＝３×２３
公約数は１と２３ですが、ｘは２桁の自然数なので、必然的に２３となります。
