中学や高校の数学で習う『確率』の問題ですが、その中で『順列』と『組み合わせ』が苦手で違いからしてあまりよくわからなかったという人もいると思います。
順列と組み合わせの違い
『順列（permutation）』と『組み合わせ（combination）』を数学的な定義からすると次のようになります。
『順列（permutation）』とは、異なるn個のものからr個選んで「一列に並べる」場合の数になります。
例えば、５人の人がいて、その５人のうち３人が１列に並ぶ並び方は何通りかといった場合に、順列によって計算することになります。
計算方法は、５×４×３＝60通りになります。
３人並ぶのに１人目は５人いるので５通り考えられます。
２人目に並ぶことができるのは、既に１人目に１人並んでいるので、５人から１人引いた４人、つまり４通り考えられます。
同様に３人目に並ぶことができるのは、３人、つまり３通り考えられます。
これらをかけて、60通りということになります。
『組み合わせ（combination）』とは、異なるn個のものからr個選ぶ「選び方」になります。
つまり、順列とは違い順番は無視されます。
Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅの５人のうち、３人が１列に並ぶとき、その３人の組み合わせが『組み合わせ』になります。
例えば、５人のうち１列に並んだ３人がＡ・Ｂ・Ｃとすると、『組み合わせ』ではＡ・Ｂ・Ｃで１つですが、『順列』では順番も考慮されるので、
「Ａ・Ｂ・Ｃ」、「Ａ・Ｃ・Ｂ」、「Ｂ・Ａ・Ｃ」、「Ｂ・Ｃ・Ａ」、「Ｃ・Ａ・Ｂ」、「Ｃ・Ｂ・Ａ」の６通りになります。
計算方法は、（５×４×３）／（３×２×１）＝１０通りになります。
３つのサイコロの出目の合計が９になる場合と１０になる場合
ギャンブルで、３つのサイコロを投げた場合、３つのサイコロの出目の合計が９になる場合と１０になる場合のどちらに賭けた方が勝てる確率が高いのでしょうか。
もちろんサイコロの各出目が出る確率は均等に１／６だとします。
直感的に合計が１０にかけたほうが勝てそうな気がしますが、冷静に確率を計算すれば同じということがわかります。
合計が９になる組み合わせは、（１・２・６）、（１・３・５）、（１・４・４）、（２・５・５）、（２・３・４）、（３・３・３）の６通りになります。
一方合計が１０になる組み合わせは、（１・３・６）、（１・４・５）、（２・２・６）、（２・３・５）、（２・４・４）、（３・３・４）の６通りになります。
つまり、確率的には同じになるのです。
わかりやすくサイコロ２つで考えてみる
もっとわかりやすく、２つのサイコロを投げた場合の、２つのサイコロの出目の合計が２になる場合と３になる場合を比較してみましょう。
合計が２になるのは、（１・１）の１通りになります。
組み合わせでは１通り、順列で考えても１通りです。
一方合計が３になるのは、（１・２）と（２・１）の２通りになります。
組み合わせで考えると１通り、でも順列で考えると２通りです。
こうしたサイコロの出目の合計で考える場合、組み合わせではなく順列で考える必要があるのです。
