順列・組み合わせ問題の公式 | 薬剤師トピックス

論理クイズなどでもよく出てくる順列・組み合わせの問題ですが、いくつかの公式を覚えておくと便利です。

和の法則と積の法則

中華料理が2種類、西洋料理が3種類ある場合、中華料理または西洋料理を1種類だけ選ぶ方法は何通りでしょうか?

答えは、2+3=5通りになります。

このように、「または」でつながる場合を考える場合は、それぞれの場合の数を足せばよく、これが『和の法則』になります。

ここで重要なのは、両方の条件に当てはまるものはない、両方のことが同時に起こりえないということが大切です。

つまり、この例の場合だと、中華料理でもあり西洋料理でもあるといったものがないので、この法則が成り立ちます。

中華料理が2種類、西洋料理が3種類ある場合、中華料理と西洋料理をそれぞれ1種類だけ選ぶ方法は何通りでしょうか?

答えは、2×3=6通りになります。

このように「かつ」でつながる場合を考える場合は、それぞれの場合の数を掛け算すればよく、これが『積の法則』になります。

階乗による計算

A君、B君、Cさん、Dさん、E君の5人がいた場合、この5人が横一列に並ぶ方法は、1人目は、5人の中から選ぶので5通り、そのそれぞれに対して2人目を残りの4人の中から選ぶので4通りとなるので、2人目までで、5×4=20通りの並び方になります。

さらに3人目以降も同様に考えると、5×4×3×2×1=5!=120通りが答えになります。

つまり、5!(5の階乗)になります。

異なるn個を一列に並べる方法は、n!通りとなり、これが『階乗による計算』のパターンです。

順列の公式

A君、B君、Cさん、Dさん、E君の5人がいた場合、このうち3人が横一列に並ぶ方法を考えた場合、階乗による計算のところで、3人目までを考えた場合と同じなので、5×4×3=60通りになります。

このように、異なるn個からr個を並べる方法が、『順列の公式』となります。

一方、「A、A、B、C」といった4個のものを横一列に並べる方法を考えた場合、2個のAは区別されません。

仮に、Aを区別しなければ、4!=24通りになります。

しかし2つのAを区別しないので、2つのAの並べ方は2!あることから、答えは、4!/2!=24/2=12通りになります。

応用問題として、A君、B君、Cさん、Dさん、E君の5人を一列ではなく、円卓に5人並べるという問題があります。

この場合は、横一列に考えれば、5!=120通りになりますが、回転して同じ並びになるものが、5通りあります。

つまり、円卓で考える場合は、5!/5=4!=24通りとなります。

異なるn個を円形に並べる順列の場合、つまり『円卓の公式』は、(n-1)!通りとなるのです。

さらに円卓より発展した応用問題が数珠順列問題です。

人ではなく、A・B・C・D・Eの5つのガラス玉を並べてネックレスをつくる場合、円形なので円卓問題として考えれば、(n-1)!通りの公式にあてはめて、5!/5=4!=24通りとなります。

しかし、数珠の場合は、裏返しても同じになるものは1つと数えるので、さらに2で割る必要があります。

これにより、『数珠順列の公式』は、(n-1)!/2通りとなります。

最新情報をチェックしよう!