論理クイズなどでもよく出てくる順列・組み合わせの問題ですが、いくつかの公式を覚えておくと便利です。
和の法則と積の法則
中華料理が２種類、西洋料理が３種類ある場合、中華料理または西洋料理を１種類だけ選ぶ方法は何通りでしょうか？
答えは、２＋３＝５通りになります。
このように、「または」でつながる場合を考える場合は、それぞれの場合の数を足せばよく、これが『和の法則』になります。
ここで重要なのは、両方の条件に当てはまるものはない、両方のことが同時に起こりえないということが大切です。
つまり、この例の場合だと、中華料理でもあり西洋料理でもあるといったものがないので、この法則が成り立ちます。
中華料理が２種類、西洋料理が３種類ある場合、中華料理と西洋料理をそれぞれ１種類だけ選ぶ方法は何通りでしょうか？
答えは、２×３＝６通りになります。
このように「かつ」でつながる場合を考える場合は、それぞれの場合の数を掛け算すればよく、これが『積の法則』になります。
階乗による計算
A君、B君、Cさん、Dさん、E君の５人がいた場合、この５人が横一列に並ぶ方法は、１人目は、５人の中から選ぶので５通り、そのそれぞれに対して２人目を残りの４人の中から選ぶので４通りとなるので、２人目までで、５×４＝２０通りの並び方になります。
さらに３人目以降も同様に考えると、５×４×３×２×１＝５！＝１２０通りが答えになります。
つまり、５！（５の階乗）になります。
異なるｎ個を一列に並べる方法は、ｎ！通りとなり、これが『階乗による計算』のパターンです。
順列の公式
A君、B君、Cさん、Dさん、E君の５人がいた場合、このうち３人が横一列に並ぶ方法を考えた場合、階乗による計算のところで、３人目までを考えた場合と同じなので、５×４×３＝６０通りになります。
このように、異なるｎ個からｒ個を並べる方法が、『順列の公式』となります。
一方、「A、A、B、C」といった４個のものを横一列に並べる方法を考えた場合、２個のAは区別されません。
仮に、Aを区別しなければ、４！＝２４通りになります。
しかし２つのAを区別しないので、２つのAの並べ方は２！あることから、答えは、４！／２！＝２４／２＝１２通りになります。
応用問題として、A君、B君、Cさん、Dさん、E君の５人を一列ではなく、円卓に５人並べるという問題があります。
この場合は、横一列に考えれば、５！＝１２０通りになりますが、回転して同じ並びになるものが、５通りあります。
つまり、円卓で考える場合は、５！／５＝４！＝２４通りとなります。
異なるｎ個を円形に並べる順列の場合、つまり『円卓の公式』は、（ｎ－１）！通りとなるのです。
さらに円卓より発展した応用問題が数珠順列問題です。
人ではなく、A・B・C・D・Eの５つのガラス玉を並べてネックレスをつくる場合、円形なので円卓問題として考えれば、（ｎ－１）！通りの公式にあてはめて、５！／５＝４！＝２４通りとなります。
しかし、数珠の場合は、裏返しても同じになるものは１つと数えるので、さらに２で割る必要があります。
これにより、『数珠順列の公式』は、（ｎ－１）！／２通りとなります。
