数学の問題を解くにあたっては、論理的思考など数学的考え方や思考がとても大切になってきますが、一方で、問題文を正確に読み取り、論理的に整理する力も必要になってきます。
一見難しく見える組み合わせ問題
【問題】
机の上にある何枚かの硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨だけをみな机の上から取り除いていくという動作を考えます。
今、机の上に３枚の硬貨がある状態から初めて、硬貨がすべて取り除かれるまで、この操作を繰り返します。
操作が４回以上行われる確率を求めなさい。
なんか読みにくいしわかりにく問題文ですが、もう少しわかりやすく簡単にできないものかを考えます。
すると、次のように言い換えることができます。
机の上にある３枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨だけをみな机の上から取り除いていくということを、硬貨がすべて取り除かれるまで繰り返します。
操作が４回以上行われる確率を求めなさい。
【考え方】
さて、これでだいぶスッキリしたと思います。
この中で重要なのは、３枚、同時に投げる、裏のみ排除、４回以上といった言葉になります。
数学には読解力が必要
数学というと、理系の科目で文系は関係ないと思われがちですが、このように問題文を理解し、それをわかりやすくすっきりとした形で正確に言語化しなおし、さらに何を求められているのかを正確に理解するという言葉を理解するという力も必要なのです。
以外と数学は読解力が必要な科目なのです。
操作が４回以上行われるということは、何を求めればいいのかを考えます。
すると、操作を３回行った段階で、少なくとも表の硬貨が１枚は残っているということです。
それぞれの硬貨が表又は裏になる確率は、それぞれ１回の操作で１／２になります。
これは、硬貨を３枚投げたときも、２枚投げたときも、１枚投げたときも、変わらずに１／２になることは容易にわかると思います。
これをもとに、さらに問題文を簡潔化し変えてみると次のようになります。
Ａ・Ｂ・Ｃの３枚の硬貨を同時に投げることを３回繰り返します。
このとき、少なくとも１枚が３回とも表になる確率を求めよ。
何を求めるのを理解し、しっかり解いていく
求めるのは、少なくとも１枚が３回とも表になる確率ですが、どうも直接には求められそうにありません。
こういう場合は、全体から引いた形を考えます。
つまり、
（３枚中少なくとも１枚が３回とも表になる確率） ＝ １－（少なくとも１枚が３回とも表にならない確率）
＝ １－（３回のうちで３枚とも１回は裏が出る確率）
ここで、硬貨Ａ・Ｂ・Ｃを別々に考えます。
硬貨Ａが３回投げた時、少なくとも１回は裏が出る確率は、３回とも表が出る確率を全体の１から引けば求められます。
硬貨Ａが３回とも表となる確率は、１／２の３乗で１／８
硬貨Ａが少なくとも３回のうち１回は裏となる確率は、１－１／８＝７／８
硬貨Ａ・硬貨Ｂ・硬貨Ｃの３枚で考え、（３回のうちで３枚とも１回は裏が出る確率）は、７／８の３乗となり、３４３／５１２になります。
（３回のうちで３枚とも１回は裏が出る確率）は、３４３／５１２なので、（３枚中少なくとも１枚が３回とも表になる確率）は、１－３４３／５１２＝１６９／５１２になります。
